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N回戦目での不戦勝は、対戦相手の獲得ポイントはN点とします。について

これは以前の日記でちょっとだけ触れましたがブシロードさんのショップ大会の簡易オポーネントによる
順位の算出方法に書いてあるルールです。これはどうなんだろう?と思ったので考察してみたいと思います。

そもそも、簡易オポーネントは店舗が公式のルールを使っていたらめんどくさくてやってられない!ことになるため、メーカー側が公式ルールの変わりにもう少しやりやすいこんなルールを使ってもらってもいいですよ!という救いの手ともいえるものだと思います。言い換えると
1、店舗の手間が少なく大会運営を行えること。
2、公式ルールでなくても参加者に悪い印象を与えないこと。(不公平感が無いこと)
を満たすものではならないといえるのでは無いでしょうか?

確かにオポネントマッチウィンパーセンテージを手計算するよりも店舗の負担は少なく済みます。対戦相手の獲得ポイントの合計の大きい方をより上位とします。という部分は店舗も参加者も違和感ない人も多いと思いますが、「N回戦目での不戦勝は、対戦相手の獲得ポイントはN点とします。」というのはどうなのでしょうか?

4回戦のスイスドローとした場合、参加者が獲得する得点の期待値は6.0点です。1回戦目に不戦勝になった人は相手得点として1.0点となりますが、通常の対戦で勝った人が獲得する得点の期待値は、4.5点となります。

1回戦目に不戦勝になった人で全勝者の相手得点の合計の期待値は1.0+6.0+7.5+9.0=23.5点
全勝者の相手得点の合計の期待値は4.5+6.0+7.5+9.0=27.0点
実に3.5点の差が出来ます。この3.5点という差はかなり大きく、1勝(3点)以上の差が出てしまいます。1回戦不戦勝になると、4回戦固定などの大会で、全勝者を1名まで絞らないような大会方式をとっている店舗では1位になることが難しくなります。1敗の場合での上位入賞もきつくなります。不戦勝となったのも運とはいえますが、参加者の立場からすると戦ってもいないのに1位が取れなくなることに対する不満というものが出るレベルといえます。

2回戦目に不戦勝となった人で3戦目、4戦目を勝つ人の期待値はちょっと計算がややこしいです。
1回戦は負けているはずなので1回戦の対戦相手得点の期待値は7.5点となります。
2回戦目は簡易ルール適用で2.0点となります。
3回戦の対戦相手は1勝1敗のはずなので、対戦相手得点の期待値は4.5点となります。
4回戦の対戦相手は2勝1敗のはずなので、対戦相手得点の期待値は6.0点となります。
相手得点の合計の期待値は7.5+2.0+4.5+6.0=20.0点となります。

参考までに1敗の人の相手得点の合計の期待値を出してみます。
1回戦に負けて1敗の場合(サブマリン)
7.5+3.0+4.5+6.0=21.0点

2回戦に負けて1敗の場合
4.5+9.0+4.5+6.0=24.0点

3回戦に負けて1敗の場合
4.5+6.0+10.5+6.0=27.0点

4回戦に負けて1敗の場合
4.5+6.0+7.5+12.0=30.0点

これらの平均を取ると
(21+24+27+30)/4=25.5点となります。

一般的に言われている「サブマリンは不利」というのが当てはまることが分かるかと思います。相手得点の合計の期待値が20.0点ということで通常のサブマリンと比べて期待値が1.0点低くなります。

3回戦以降の不戦勝者については上位に食い込む可能性はほとんどありませんので獲得する相手得点がどうなろうかあまり関係が無い様に思いますが・・・勢いで考察を続けます。

3回戦目に不戦勝となった人で4戦目を勝つ人の期待値

1回戦は負けているはずなので1回戦の対戦相手得点の期待値は7.5点となります。
2回戦も負けているはずなので2回戦の対戦相手得点の期待値は6.0点となります。
3回戦目は簡易ルール適用で3.0点となります。
4回戦の対戦相手は1勝2敗のはずなので、対戦相手得点の期待値は3.0点となります。
相手得点の合計の期待値は7.5+6.0+3.0+3.0=19.5点となります。

2敗の人の相手得点の合計の期待値を参考までに(ううっ・・・面倒くさい・・・)
ケースとしては4C2で6通りですので・・・

1回戦2回戦に負けて2敗の場合
7.5+6.0+1.5+3.0=18.0点

1回戦3回戦に負けて2敗の場合
7.5+3.0+4.5+6.0=21.0点

1回戦4回戦に負けて2敗の場合
7.5+3.0+4.5+9.0=24.0点

2回戦3回戦に負けて2敗の場合
4.5+9.0+7.5+3.0=24.0点

2回戦4回戦に負けて2敗の場合
4.5+9.0+4.5+9.0=27.0点

3回戦4回戦に負けて2敗の場合
4.5+6.0+10.5+9.0=30.0点

これらの平均を取ると
(18+21+24+24+27+30)/6=24点となります。

3回戦目に不戦勝≒「1回戦2回戦に負けて2敗の場合」ですので18.0-19.5=-1.5
?あれ?3回戦目に不戦勝をするとオポとしては1.5点得になりますね。

4回戦も同様に考えます

4回戦目に不戦勝となった人で4戦目を勝つ人の期待値

1回戦は負けているはずなので1回戦の対戦相手得点の期待値は7.5点となります。
2回戦も負けているはずなので2回戦の対戦相手得点の期待値は6.0点となります。
3回戦も負けているはずなので2回戦の対戦相手得点の期待値は4.5点となります。
4回戦目は簡易ルール適用で4.0点となります。
相手得点の合計の期待値は7.5+6.0+4.5+4.0=22.0点となります。

3回戦目に不戦勝≒「4回戦だけ勝つ場合」ですので
7.5+6.0+4.5+0.0=18.0点  18.0-22.0=-4.0
4回戦目に不戦勝をするとオポとしては4.0点も得になります。

まとめてみます。

1回戦の不戦勝者に与える仮想対戦相手得点の期待値は4.5点が望ましい。
⇒1点与えるのでは3.5点足りない。
2回戦の不戦勝者に与える仮想対戦相手得点の期待値は3.0点が望ましい。
⇒2点与えるのは1点足りない。
3回戦の不戦勝者に与える仮想対戦相手得点の期待値は1.5点が望ましい。
⇒3点与えるのは1.5点多い。
4回戦の不戦勝者に与える仮想対戦相手得点の期待値は0点が望ましい。
⇒4点与える必要は無く1点も与える必要は無い。
回戦が増えるごとに与える得点を増していくのはどうなんだろう?ということがよく分かるかと思います。
むしろ回戦数が増えていくごとに与える点数を減らしていかなければなりません。

2、公式ルールでなくても参加者に悪い印象を与えないこと。(不公平感が無いこと)

という部分においては満たせていない簡易ルールであることが分かりました。大会参加者が感じる不公平感は大会参加意欲や店舗での購買活動に直結する場合がありえます。

ちなみにこの値も法則性がありますね!計算式がひらめきました!
N回戦のスイスドローで勝者の獲得得点T(3点)、K回戦目の不戦勝とすると・・・

K回戦目の不戦勝者に与える仮想対戦相手得点の期待値は「(N-K)T/2」点が望ましい。

ということが言えると思います。
(5回戦スイスドローの1回戦不戦勝であれば(5-1)3/2で6点が理想的な獲得得点となります。)

「N回戦目での不戦勝は、対戦相手の獲得ポイントはN点とします。」を不公平なく書き換えるとすると・・・
「全体でN回戦の大会においてK回戦目での不戦勝における対戦相手の獲得ポイントは1.5(N-K)点とします。」

やっぱり小数点が発生しますしちょっと複雑になりますね・・・店舗の人の手間をかけずに手作業で行うにはギリギリのレベルかと思います。「最終回戦の不戦勝を0点として、1回戦戻るごとに1.5点づつプラスしてください」
と表現すればもう少し分かりやすくなるかもしれません。(5回戦の最終戦の不戦勝は0点、4回戦の不戦勝は1.5点、3回戦の不戦勝は3.0点・・・)
問題点としては勝者が1人になるまで続ける大会の場合で階段が崩れたりすると回戦数が少なくなる可能性もあり、獲得する相手得点が変わったりしてきますので、最終順位の計算時のみに使用する(タイブレイカーは使用しない)ことが必要です。

ですのでブシロードさんのTCGの大会運営をフォローする為に
・OMW%での順位計算、タイブレーク使用を可能とする⇒対応済み
・N回戦目での不戦勝の対戦相手の獲得ポイントはN点にできるようにする。
・N回戦のスイスドローで勝者の獲得得点Tとして、K回戦目の不戦勝者に
与える仮想対戦相手得点の期待値として「(N-K)T/2」点にできるようにする。

このあたりをシステム対応できるようにしていければと思っています。OMW%を自動計算できる仕組みがあれば簡易ルールを使わなくなる店舗さんが増えるかもしれませんが染み込んだルールは継続して使っていきたい・・・と思う店舗もあるかと思います。システムが本来OMW%のルールで大会運営出来るように提唱して使ってもらうことは問題なくても今まで使用していたルールを使用できなくして店舗に対して不便と感じさせることはするべきでは無いかなと。
ブシロードさんから店舗への現状の微妙な簡易オポーネント提示が変更されれば
・N回戦目での不戦勝の対戦相手の獲得ポイントはN点にできるようにする。
は本当の意味で不要となるかもしれませんが・・・・

ではでは。
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