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スイスドロー大会参加人数に関する考察

Twitterにて

突然クイズ
スイスドロー方式の大会を実施します。
上位16人予選通過。1敗ライン全員通過。予選4回戦。
必ず勝ち負けが付くシチュエーションを想定(引分や両者敗北は想定しない)。
上記要件を満たす範囲だと何人参加可能か?
(問題出しといて自分が間違えてたら恥ずかしいのですがw)

という問題を出しました。

正解は50人。49人でも52人でもないです。
ポイントは3つあって
・階段対戦で階段崩れない考慮→49人?
・全勝奇数、1敗奇数の時の1敗の人数考慮→52人?
・最終回戦の階段崩れ考慮
→3つとも考慮して50人が導かれます

という雑な回答になってしまっていたので久々にこのブログで解説をさせていただきます。

まずはスイスドローの基本的な考え方ですが
「可能な限り同じ強さの人とマッチングされる」という前提があります。

例えば64人の場合
1回戦 全勝32人 1敗32人
2回戦 全勝16人 1敗(全勝対戦で敗北した16人+1敗同士の対戦で勝ち残った16人)=32人
3回戦 全勝8人 1敗(8+16)=24人
4回戦 全勝4人 1敗(4+12)=16人

ということになり4+16=20人となり上位16名に絞ると4名1敗ラインから予選脱落者が出てしまいます。

では次に解答である50人で考えてみましょう
1回戦 全勝25人 1敗25人

???
奇数の場合はどう考えるんだろう??と思った人いるかと思います。
基本的に同じ得点の人が奇数の場合それに近い得点の人と対戦が組まれます。
これを得点の凸凹、段差がある戦いということから「階段対戦」と言います。
強い人が勝ち残っている方が全体としてより好成績の人が残り続けることと
なりますので(これが何で?と言う部分に関しては割愛させてください。)
奇数の場合はその数値を÷2して1を足す数値が一番勝ち残る数値となります。
これを踏まえて以下

2回戦 全勝13人 1敗(12+13)=25人
3回戦 全勝7人 1敗(6+13)=19人
4回戦 全勝4人 1敗(3+10)=13人

4+13=17人となり、1名脱落する可能性があると計算出来ました。

では49人では?
1回戦 全勝25人 1敗24人
2回戦 全勝13人 1敗(12+12)=24人
3回戦 全勝7人 1敗(6+12)=18人
4回戦 全勝4人 1敗(3+9)=12人

4+12=16人となり、50人がダメだったので49人が正しい!・・・・と思うかもしれません。

ちょっと待ってください。
階段対戦は全勝者と1敗の対戦となります。ここで全勝者が勝つ=1敗の参加者は2敗になるのです。

もう一度50人で考えてみましょう

1回戦 全勝25人 1敗25人

全勝と1敗の対戦の現実的な勝敗を意識すると
2回戦 全勝13人 1敗(12+1敗25人のうち全勝者との階段対戦に負けて2敗となった1名を除外した24人の半分の12人)=24人

となります。先ほどの50人のケースと比べるとここで既に対象人数が変わってきます。
言い換えると全勝が奇数人数、1敗も奇数人数の場合に1名対象人数が減る計算になるのです。
以下同じように計算してみます。

3回戦 全勝7人 1敗(6+12)=18人
4回戦 全勝4人 1敗(3+9)=12人

4+12=16人 あれ?16人に収まってしまいました。


52名で計算してみます。
1回戦 全勝26人 1敗26人
2回戦 全勝13人 1敗(13+13)=26人
3回戦 全勝7人 1敗(6+13)=19人
4回戦 全勝4人 1敗(3+9)=12人

4+12=16人 これも収まりますね!53人は17人になってしまうので(計算割愛)正解は52人!
・・・と思いきや実は違います。

最終回戦に関しては実は階段対戦が崩れる(1敗が全勝者に勝つ)場合、全勝者が勝つ場合より
1敗以上の参加者の人数が1名多くなるケースがありえるのです。
実際のケースとして上記52名のケースをもう一度考えてみます。

1回戦 全勝26人 1敗26人
2回戦 全勝13人 1敗(13+13)=26人
3回戦 全勝7人 1敗(6+13)=19人

この状態で4回戦の階段対戦が崩れたとします。
どうなるでしょうか?

4回戦 全勝3人 1敗(階段対戦に負けた全勝者1+全勝対決で負けた人3=4人+(1敗19人のうち全勝者との階段対戦に勝って1敗にとどまった1人+その1名を除外した18人の半分の9人=10人))=14人
長くてすんごい分かりにくいですね…
3+14=17人 あれれ?おかしいですね?おやおや?(加藤一二三九段のイメージ)16人に収まらないケースが出ちゃいました。
言い換えると全勝が奇数人数、1敗も奇数人数の場合で階段対戦が崩れると崩れなかったときに比べて1名対象人数が増える計算になるのです。
51名もダメです。(計算割愛)


再度50人を計算してみます。
1回戦 全勝25人 1敗25人
2回戦 全勝13人 1敗(12+12)=24人
3回戦 全勝7人 1敗(6+12)=18人
4回戦 全勝4人 1敗(3+9)=12人
4回戦階段崩れ  全勝3人 1敗(4+9)=13人

4回戦の結果がどうあっても16名に収まります!

ということで50人が正解となります!

実際は参加しない人もいますし全員来たとしても確率的には低いので
ここまで厳密に考慮する必要が無いのかもしれませんね…(考察台無し)

ちなみにこの考え方で
1敗で上位8名に絶対入れる予選の回戦数と安全な参加人数は
4回戦 24人
5回戦 40人
6回戦 72人
7回戦 128人
8回戦 224人
9回戦 384人
10回戦 736人
11回戦 1312人
となります。

以上誰かの何かの参考となれば幸いです。

追記:1年ぶりに書いたんですが1年前の記事と被ってますね…。失礼しました。
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