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シード者の対戦相手の得点の期待値について

タイトルがなんのこっちゃですが、前回の記事を書いていて掘り下げたくなったので・・・

得点の次の評価基準が相手の得点の合計の場合でタイブレイカーを使用するマッチングでシード者の扱いがあるときに公平に行う方法について考えてみたいと思います。何でこんなことを考えるのか?と突っ込まれそうですが、スイスドローの運営システムで出来る限りいろいろなルールに対応したいなと思っているからです。システムがこうだからこういうルールでやってください・・・という縛りにならずに「カードゲームの面白さを最大限に引き出すことをサポートできるツールでありたい」=「汎用性をもちたい」と思っているからです。

5回戦のスイスドロー、勝者には3点が与えられる場合で考えます。(階段対戦、不戦勝、ドロップアウトは考慮しません。)以下に獲得する相手得点の期待値についてまとめてみます。

・1回戦の勝者(=1回戦シード扱い)
<1回戦終了時の期待値>
⇒1回戦の対戦相手の得点の期待値は0点となります。
<5回戦終了時の期待値>
同レベルの対戦相手と戦っている前提として勝率50%とすると1試合あたり1.5点となりますので
⇒1回戦の対戦相手の最終的な得点の期待値は0+1.5+1.5+1.5+1.5=6.0点となります。

・2回戦の勝者(=2回戦シード扱い)
<2回戦終了時の期待値>
⇒1回戦の対戦相手の得点の期待値は0+1.5=1.5点となります。
⇒2回戦の対戦相手の得点の期待値は1回戦に勝ち(階段は考慮しない)2回戦に負け、3+0=3点を得ていますので期待値は3点となります。
⇒よって2回戦終了時の相手得点の合計の期待値は1.5+3.0=4.5点となります。
<5回戦終了時の期待値>
⇒2回戦の対戦相手の最終的な得点の期待値は3+0+1.5+1.5+1.5=7.5点となります。
⇒よって5回戦終了時の1・2回戦の対戦相手得点の期待値は6.0+7.5=13.5点となります。

・3回戦の勝者(=3回戦シード扱い)
<3回戦終了時の期待値>
⇒1回戦の対戦相手の得点の期待値は0+1.5+1.5=3.0点となります。
⇒2回戦の対戦相手の得点の期待値は3+0+1.5=4.5点となります。
⇒3回戦の対戦相手の得点の期待値は1・2回戦に勝ち、3回戦に負け、3+3+0=6点を得ていますので期待値は6点となります。
⇒よって3回戦終了時の相手得点の合計の期待値は3.0+4.5+6.0=13.5点となります。
<5回戦終了時の期待値>
⇒3回戦の対戦相手の最終的な得点の期待値は3+3+0+1.5+1.5=9点となります。
⇒よって5回戦終了時の1・2・3回戦の対戦相手得点の期待値は6.0+7.5+9.0=22.5点となります。

・4回戦の勝者(=4回戦シード扱い)
<4回戦終了時の期待値>
⇒1回戦の対戦相手の得点の期待値は0+1.5+1.5+1.5=4.5点となります。
⇒2回戦の対戦相手の得点の期待値は3+0+1.5+1.5=6.0点となります。
⇒3回戦の対戦相手の得点の期待値は3+3+0+1.5=7.5点となります。
⇒4回戦の対戦相手の得点の期待値は1・2・3回戦に勝ち、4回戦に負け、3+3+3+0=9点を得ていますので期待値は9点となります。
⇒よって4回戦終了時の相手得点の合計の期待値は4.5+6.0+7.5+9.0=27.0点となります。
<5回戦終了時の期待値>
⇒4回戦の対戦相手の最終的な得点の期待値は3+3+3+0+1.5=10.5点となります。
⇒よって5回戦終了時の1・2・3・4回戦の対戦相手得点の期待値は6.0+7.5+9.0+10.5=33.0点となります。


・5回戦の勝者(全回戦シード扱い・・・というか全勝者の期待値ともいえます)
<5回戦終了時の期待値>
⇒1回戦の対戦相手の得点の期待値は0+1.5+1.5+1.5+1.5=6.0点となります。
⇒2回戦の対戦相手の得点の期待値は3+0+1.5+1.5+1.5=7.5点となります。
⇒3回戦の対戦相手の得点の期待値は3+3+0+1.5+1.5=9.0点となります。
⇒4回戦の対戦相手の得点の期待値は3+3+3+0+1.5=10.5点となります。
⇒5回戦の対戦相手の得点の期待値は1・2・3・4回戦に勝ち、5回戦に負け、3+3+3+3+0=12点を得ていますので期待値は12点となります。
⇒よって5回戦終了時の相手得点の合計の期待値は6.0+7.5+9.0+10.5+12.0=45.0点となります。

まとめると・・相手得点は
1回戦シード扱いの場合、2回戦のマッチングにおいて0点で、各回戦終了時に1.5点ずつ付与し、最終的に6点を与えるのが望ましい。
2回戦シード扱いの場合、3回戦のマッチングにおいて4.5点で、各回戦終了時に1.5×2=3.0点ずつ付与し、最終的に6+7.5=13.5点を与えるのが望ましい。
3回戦シード扱いの場合、4回戦のマッチングにおいて13.5点で、各回戦終了時に1.5×3=4.5点ずつ付与し、6+7.5+9=22.5点を与えるのが望ましい。
4回戦シード扱いの場合、5回戦のマッチングにおいて27.0点で、5回戦終了時に1.5×4=6.0点を付与し、6+7.5+9+10.5=33.0点を与えるのが望ましい。
全回戦シード扱いの場合、6+7.5+9+10.5+12.0=45.0点が平均的な期待値
ということになるかと思います。

上記の結果を踏まえて、システムでどう実現するか?実現できるか?ですが結果を読み解くと値の法則性に気づきました。等比数列ですね。対戦相手の各回戦終了時の3点を得る勝ち数と期待値1.5点を得る数は同値で0個,1個,3個,6個,10個・・・となります。以下のように対戦相手の得点の期待値を並べると分かりやすいでしょうか?

<1回戦>0個ずつ
0

<2回戦>1個ずつ
0+1.5
3+0 

<3回戦>3個ずつ
0+1.5+1.5
3+0 +1.5
3+3 +0 

<4回戦>6個ずつ
0+1.5+1.5+1.5
3+0 +1.5+1.5
3+3 +0 +1.5
3+3 +3 +0 

<5回戦>10個ずつ
0+1.5+1.5+1.5+1.5
3+0 +1.5+1.5+1.5
3+3 +0 +1.5+1.5
3+3 +3 +0 +1.5
3+3 +3 +3 +0 

回戦=N として式にあらわすと((N-1)N)/2個です。で、勝ち得点=T(3点) 期待値=T/2(1.5点)とすると以下の式になります。

(T+T/2)×(((N-1)N)/2)=1.5T((N-1)N)/2)点

こんなに真剣に計算したのはセンター試験以来かもしれません・・・(苦笑)

勝ち得点については3点が一般的ですがモンコレのように勝ち方によって点数が異なったり負けにも点数が入ったりする場合もありますのでその平均の値を取れるようにTの値を設定できるようにしておけばよいですね。苦労して計算した割にはシンプルな答えが導かれた気がします。カードゲームのレギュレーションに対してこの値ひとつで相手得点のルールをマッチングにおいて使用したとしてもシード者に不利が無いようなマッチングが実現できます。

ガンダムウォーの現行シードルールを不公平なく変えるとすると・・・
「シード権選手は、3回戦より組み合わせに加わります。その際のシード「権選手の成績は「勝ち点6、2回戦終了時点の対戦相手の勝ち点4.5(※4回戦以降のマッチングにおいて不利が出ないように各回戦終了時点で3.0点ずつ相手得点として追加で付与します。5回戦であれば13.5点、6回戦であれば16.5点が最終的に付与されます。)対戦相手の勝率5割、勝率10割」となります。」
と表現できると思います。このルールであれば不戦勝や引き分け試合の発生率、ドロップアウトを考慮すると、公平というよりもむしろ1回戦から勝ち続けた人よりも若干有利になると思います。

うーん・・・確かに公平にはなったかもしれませんがこんな記述したらかえって???な人が多発すると思います。混乱するだけですね・・・。OMW%使ってタイブレイカーを使用しないルールがシンプルで公平ですね・・・(爆)

(1/11補足)
2回戦終了時点での相手得点合計の期待値は4.5点ですが実際は3点とか6点とかになるわけであって、小数点以下の値は発生しえません。2回戦終了時点での「相手得点の合計3点」は2戦2勝者で階段対戦となってしまう候補に含ませることを意味しているといえます。(1回戦の対戦相手が2回戦も負けた=0点+2回戦の対戦相手3点=合計3点。)シード者に4.5点を与えると人数が多ければ多いほど階段対戦となることはほぼありえません。そういった意味で4.5点を与えるとシード者の立場が確率の部分以上に有利になるといえます。
また、4.5点という実対戦では発生しない点数を与えるということは、マッチングにおいてタイブレイカーを使用する場合においては「シード者同士でマッチングを行います」と宣言するのとほぼ同じこととなります。果たしてこうなってしまうことが運営側として問題ないと思えるのか?(シード者同士のマッチングばかりになることはNGだと自分は思います。裏を返すと現行のGWのルールでは2戦2勝で1回戦の対戦相手が2回戦目に勝利した人は「対戦相手の得点の合計が6点」となりますので、シード者とは当たらない。≒2戦2勝者で3回戦のマッチングでシード者と当たっていない人は3回戦開始時点で相手得点の合計が6点となってオポが高い可能性が高い・・・ということが推察されます。さらに参加者の立場で言い換えるとブロックの人数が多い東京などの大会においては3回戦でシード者と戦って敗北した場合、1敗でも予選突破は0ではないが絶望的ともいえます。これはまぁ大会運営上気にしないでもよいセーフなレベルだとは思いますが・・・)平均や確率だけ考えても不公平の出にくい理想的な大会運営が出来るとは限らないということも念頭に置いて、システムでいろいろと調整できるようにしていかないとな・・・と思った次第で追記しました。やっぱりマッチングにおけるタイブレーカーはいろんな意味で災いの元かもしれませんね・・・

ではでは。
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